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Voulant vous être utile, j'ai rédigé un petit exposé préalable sur les nombres complexes.Dan a écrit :Bonjour.gypaete a écrit : Bonjour,
Je voudrais juste rectifier un petit détail à propos des "ondes" en mécanique quantique.
Il ne faut pas confondre : Quand on parle de "fonction d'onde" en mécanique quantique il ne s'agit pas d'une onde habituelle en ce sens que cette onde n'a pas de sens physique. C'est une "onde de probabilité". Cela signifie que le carré de l'amplitude de cette onde représente en fait, par exemple, la probabilité pour trouver une particule à un endroit précis.
Une autre grande différence avec les ondes ayant un sens physique est que l'onde en mécanique quantique est une onde "complexe", c'est-à-dire qu'elle s'exprime à l'aide de nombres complexes. Un nombre ou une variable complexe z est de la forme z = a+bi, où i est la racine carrée de moins 1 et a et b étant des nombres ou des variables habituels..
Il n'existerait pas de mécanique quantique si la superbe théorie des nombres complexes n'avait été découverte.
Enfin, je ne pense pas qu'il soit possible de vulgariser la mécanique quantique. Seul l'outil mathématique peut explorer les difficiles arcanes de cette discipline.
Par exemple, personne ne sait ce qu'est vraiment une particule. Seules, les mathématiques de haut niveau permettent d'étudier le comportement et les propriétés des particules telles que le photon, les W°, W-, Z°, les gluons pour les bosons et l'électron, les neutrinos, les quarks etc. pour les fermions
La mécanique quantique est d'autant plus difficile que ses résultats sont contre-intuitifs et il arrive souvent que certains non avertis rejettent ces résultats sous le fallacieux prétexte qu'ils ne les comprennent pas !
Cordialement.
Concernant les nombres complexes, je me suis toujours demandé pourquoi la fonction d'onde devait être une fonction complexe et pas juste une simple fonction réelle par exemple ? Pourquoi l'ensemble C est indispensable en méca quantique ?
Si vous pouviez me l'expliquer, je vous lirais avec grand plaisir.
Nous parlerons ensuite de la fonction d'onde Ψ de la mécanique quantique.
Cordialement.
LES NOMBRES COMPLEXES.
Rappel : On sait que √(ab) = √a√b
Soit alors l’expression : √(-4)
On peut l’écrire (voir rappel) : √ (-1)√4
Il a été décidé d’appeler i l’expression √(-1) : i = √(-1)
On a donc : i² = -1.
NOMBRES COMPLEXES
Un nombre complexe s’écrit : z = a + bi où a et b sont les nombres habituels.
Par exemple, 5 + 8i est un nombre complexe.
Addition des nombres complexes.
Soient z1 = 3 + 6i et z2 = 5 + 3i.
Alors z1 + z2 = 3 + 5 + (6+3)i = 8 + 9i
Soustraction des nombres complexes.
Même chose que pour l’addition en remplaçant le signe + par le signe -.
Multiplication des nombres complexes.
Soient z1 = a+bi et z2 = c+di.
Alors : z1z2 = (a+bi)(c+di) = ac+adi+cbi+ bdi². Mais bbdi² = -bd puisque i² = -1.
D’où Z = z1z2 = ac-bd+(ad+cb)i
ac-bd s’appelle la partie réelle de Z et ad+cb est sa partie imaginaire.
Plus généralement, TOUTES les opérations réalisables sur les nombres réels le sont aussi sur les nombres complexes :
Division, racine carrée, puissance, logarithme, sinus, cosinus, etc.
De même que l’on étudie les fonctions telles que y= f(x), on étudie aussi les fonctions complexes de la forme : Z = f(z) où z est une variable complexe de la forme z = x+yi où x et y sont des variables réelles.
Tout cela pourrait sembler bien mystérieux et pourtant tout devient naturel à partir du moment où on se représente les nombres réels (habituels) sur une droite, par exemple comme sur un double décimètre ou encore sur un ruban de tailleur.
Eh bien, les nombres complexes ne font que généraliser sur un plan les nombres réels limités à être représentés sur une droite.
Voici donc une petite introduction à la « magie » des nombres complexes comme les appelle le physicien britannique Roger Penrose :
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Ce qui suit montre que les nombres complexes ne sortent pas tout droit de l’imagination des mathématiciens, mais ont été IMPOSES par la mathématique elle-même.
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